Arbitrage Intertemporel

Arbitrage intertemporel du consommateur, l'agent raisonne sur au moins 2 périodes. Il va chercher à maximiser son utilité sous contrainte budgétaire intertemporelle.

Système d'épargne ($S$), offre au consommateur le choix entre deux possibilités :

• Épargner : le consommateur peut épargner une partie de ses ressources en première période ($S$) qu'il pourra consommer à la seconde période avec des intérêts supplémentaires ($S+r$).
• Emprunter : le consommateur peut emprunter pour consommer davantage en première période ($-S$) qu'il devra rembourser à la seconde période avec des intérêts supplémentaires ($-(S+r)$).

Contrainte budgétaire, elle égalise les emplois et les ressources de l'agent à chaque période.

• Première Période : le consommateur a pour ressource ($R_1$) une partie qui sera utilisée pour consommer ($c_1p_1$). Il peut utiliser le reste de ces ressources pour épargner ($S$) ou il souhaite consommer davantage et va emprunter ($-S$). Il possède comme contrainte budgétaire à la période 1 :

  $$R_1 = c_1p_1 + S$$

• Seconde Période : le consommateur a pour ressource ($R_2 + S(1+r)$) le revenu à la seconde période ainsi que son épargne augmenté des intérêts. Il utilise ses ressources éventuellement pour consommer à la période 2 ($c_2p_2$) ou pour éventuellement rembourser son emprunt et les intérêts. Il possède comme contrainte budgétaire à la période 2 :

  $$R_2 + S(1+r) = c_2p_2$$

Contrainte budgétaire intertemporelle, l'agent raisonne donc avec une contrainte budgétaire qui synthétise ses contraintes budgétaires à chaque période.

$$\begin{cases} R_1 = c_1p_1 + S \\ R_2 + S(1+r) = c_2p_2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} S = R_1 - c_1p_1 \\ S = \dfrac{c_2p_2 - R_2}{(1+r)} \end{cases}$$

Le consommateur a donc pour contrainte budgétaire intertemporelle :

$$R_1 + \frac{R_2}{(1+r)} = c_1p_1 + \frac{c_2p_2}{(1+r)}$$

Programme du consommateur, le consommateur va chercher à maximiser son utilité intertemporelle sous contrainte intertemporelle, le programme du consommateur s'écrit :

$$\begin{cases} \text{Max } U(c_1,c_2)\\ S.C \;\; R_1 + \dfrac{R_2}{(1+r)} = c_1p_1 + \dfrac{c_2p_2}{(1+r)} \end{cases}$$