Méthode du Lagrangien
La méthode du Lagrangien permet d'optimiser une fonction sous contrainte, de trouver le maximum ou le minimum d'une fonction sous contrainte.
Fonction à maximiser : $f(x,y)$, la fonction à maximiser.
Contrainte : $g(x,y)$, la fonction qui est une contrainte.
Étape 1 : on peut écrire le Lagrangien sous la forme : $$\mathcal{L}(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda \bigl(g(x,y) = 0\bigr)$$
Étape 2 - Conditions du premier ordre ($CPO$) : les conditions du premier ordre impliquent d'égaliser les dérivées premières avec 0. $$\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x} = 0 \\[8pt] \dfrac{\partial L}{\partial y} = 0 \\[8pt] \dfrac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$
Étape 3 - Résolution du système : on résout le système précédent pour obtenir une ou plusieurs solutions, elles correspondent à la maximisation ou la minimisation de la fonction sous contrainte.
Attention à la concavité
Si la fonction est convexe, le Lagrangien va minimiser la fonction sous contrainte. Les conditions de second ordre ($CSO$) permettent de vérifier la concavité de la fonction si elle existe.
Exemple d'application
On cherche à optimiser la fonction : $f(x,y) = x \cdot y$ sous contrainte de $g(x,y) = 2x + y - 12$.
Étape 1 — Écriture du Lagrangien : le Lagrangien s'écrit sous la forme $\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x,y) + \lambda\big( g(x,y) = 0 \big)$.
$$\mathcal{L}(x, y, \lambda) = x \cdot y + \lambda\big( 2x + y - 12 \big)$$
Étape 2 — Conditions du premier ordre ($CPO$) : on annule les dérivées partielles.
$$\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x} = 0 \\[8pt] \dfrac{\partial L}{\partial y} = 0 \\[8pt] \dfrac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y + \lambda \cdot 2 = 0 \\[4pt] x + \lambda = 0 \\[4pt] 2x + y - 12 = 0 \end{cases}$$
Étape 3 — Résolution du système : on résout le système précédent.
$$\begin{cases} y + \lambda \cdot 2 = 0 \\[4pt] x + \lambda = 0 \\[4pt] 2x + y - 12 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \lambda = \dfrac{-y}{2} \\[8pt] \lambda = -x \\[4pt] 2x + y = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{-y}{2} = -x \\[8pt] 2x + y = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x = y \\[4pt] y = 12 - 2x \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 3 \\[4pt] y = 6 \end{cases}$$
La solution qui maximise la fonction sous contrainte est $x = 3$ et $y = 6$.